1962 yılında Bursa, Nilüfer ilçesi, Özlüce Mahallesi'nde doğdu. İlkokulu Özlüce İlkokulu’nda, Orta ve Lise öğrenimini Bursa Cumhuriyet Lisesi'nde tamamladı. Yüksek Öğrenimini 1980 yılında girdiği Anadolu Üniversitesi'nde gördü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi-İnşaat Mühendisliği Bölümünü 1984 yılında başarıyla bitirdi. Aynı okulda yüksek lisans öğrenimini yaparak "İnşaat Yüksek Mühendisi" olarak mezun oldu. 1986 yılında projecilik ile başladığı meslek hayatına, daha sonra mesleğiyle ilgili taahhüt işleri yaparak devam etti.
18 Nisan 1999 seçimlerinde DSP’nin Nilüfer Belediye Başkan adayı olarak girdiği seçimden zaferle çıkarak, Nilüfer’in üçüncü belediye başkanı oldu. Yeni yapılanan Nilüfer’e çağdaş bir kentleşme vizyonu kazandıran Bozbey, 5 yıllık başarılı bir çalışma döneminin ardından, 28 Mart 2004 seçimlerinde bir kez daha Nilüfer Belediye Başkanlığı’na aday oldu. Seçim yarışına bu kez CHP’den giren Bozbey, bir kez daha belediye başkanı oldu.
1988 yılında Selma Bozbey ile yaşamını birleştiren Mustafa Bozbey, Side adında bir kız çocuk babası.